Теория функций Якоби насчитывает уже почти два столетия. Впервые эти функции появились в трудах трёх знаменитых математиков – Карла Фридриха Гаусса (1777 – 1855, Германия), Нильса Хенрика Абеля (1802 – 1829, Норвегия) и Карла Густава Якоба Якоби (1804 – 1851, Германия). Каждый из этих математиков создал свой вариант теории этих функций. Наиболее полным стало изложение этой теории, опубликованное в 1829 году в работе К.Г.Я. Якоби, именем которого эти функции и были названы. Позже, в 1862 году, свой вариант теории этих функций создал немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815 – 1897). Эти функции позволяют решить многие задачи геометрии и механики, неразрешимые в элементарных функциях, в частности, с их помощью можно точно выразить длину дуги эллипса и любой циклоидальной кривой, а также полностью решить задачу о свободном вращении твёрдого тела (при отсутствии вращательного момента внешних сил). Уметь решать подобные задачи необходимо каждому инженеру и конструктору техники. Однако в имеющихся сегодня учебниках, учебных пособиях, руководствах и справочниках теория функций Якоби излагается с позиций общей теории функций комплексного переменного, которая изучается в вузах не ранее третьего курса. В публикуемой здесь работе я излагаю эту теорию почти так же элементарно, как в школьном курсе математики вводятся синус и косинус (существенное отличие состоит лишь в использовании для вывода основных результатов дифференциального и интегрального исчисления вещественных функций одного вещественного переменного, а теория функций комплексного переменного используется лишь для доказательства аналитичности вводимых и используемых функций). Это делает предлагаемое мной изложение в основном доступным выпускникам средней школы и студентам начальных курсов вузов, а полностью – студентам третьих курсов вузов, изучившим теорию функций комплексного переменного. Именно поэтому я решил опубликовать эту работу, хотя новых научных результатов она не содержит.

   В первом варианте этой работы, опубликованном 6 января 2021 года, имелся существенный пробел – не было указано, что полученные представления функций тэта и эта Якоби в виде рядов Фурье и Лорана и бесконечных произведений верны лишь в случае, если заранее установлено, что эти функции являются аналитическими функциями своего комплексного аргумента. Этот пробел устранён в переработанном и дополненном варианте моей работы, который помещён на сайте 4 мая 2021 года вместо прежнего (содержавшего пробел) варианта, удалённого с сайта.

Автор С.В. Гаврилов

   Для прочтения работы необходимо скачать файл формата PDF с сервера.