С.В. Гаврилов

Формула Кэмпбелла – Хаусдорфа

в приведённом виде

для невырожденных алгебр Ли

Введение

   Формула Кэмпбелла – Хаусдорфа является одной из центральных теорем теории групп и алгебр Ли. Она выражает операцию умножения в группе Ли через операцию коммутирования в соответствующей алгебре Ли при экспоненциальном соответствии между ними.

   Задачу отыскания такой формулы впервые поставил в 1897 году английский математик Дж. Э. Кэмпбелл ([1]). Немецкий математик Ф. Хаусдорф ([2]) в 1906 году впервые доказал, что умножение в группе Ли выражается через коммутирование в её алгебре Ли при экспоненциальном соответствии между ними. Однако явный вид этого выражения долгое время не был известен и был впервые получен лишь в 1947 году советским математиком Е. Б. Дынкиным ([3]). Последующие работы по этой формуле были посвящены исследованию условий её сходимости, созданию компьютерных программ для практических вычислений и применению её в прикладных науках (в частности, в квантовой физике).

   У формулы Дынкина есть два весьма существенных недостатка: во-первых, она имеет несимметричный вид (хотя из теории групп ясно, что она должна быть симметричной), а во-вторых, в ней не приведены подобные члены, что затрудняет её исследование и использование. Целью этой работы является устранение обоих этих недостатков (которые, насколько мне известно, до сих пор не были устранены в математической литературе и открытых публикациях в Интернете).