С.В.
Гаврилов
Формула
Кэмпбелла – Хаусдорфа
в
приведённом виде
для
невырожденных алгебр Ли
Введение
Формула Кэмпбелла – Хаусдорфа является одной
из центральных теорем теории групп и алгебр Ли. Она выражает операцию умножения
в группе Ли через операцию коммутирования в соответствующей алгебре Ли при
экспоненциальном соответствии между ними.
Задачу отыскания такой формулы впервые
поставил в 1897 году английский математик Дж. Э. Кэмпбелл ([1]). Немецкий
математик Ф. Хаусдорф ([2]) в 1906 году впервые доказал, что умножение в группе
Ли выражается через коммутирование в её алгебре Ли при экспоненциальном
соответствии между ними. Однако явный вид этого выражения долгое время не был
известен и был впервые получен лишь в 1947 году советским математиком Е. Б.
Дынкиным ([3]). Последующие работы по этой формуле были посвящены исследованию
условий её сходимости, созданию компьютерных программ для практических
вычислений и применению её в прикладных науках (в частности, в квантовой
физике).
У формулы Дынкина есть два весьма
существенных недостатка: во-первых, она имеет несимметричный вид (хотя из
теории групп ясно, что она должна быть симметричной), а во-вторых, в ней не
приведены подобные члены, что затрудняет её исследование и использование. Целью
этой работы является устранение обоих этих недостатков (которые, насколько мне
известно, до сих пор не были устранены в математической литературе и открытых
публикациях в Интернете).
|